範例12 內積的應用——在坐標平面上有點 C[圓C:(x+1)^2+(y-2)^2=5]
範例12 內積的應用——在坐標平面上有點 C[圓C:(x+1)^2+(y-2)^2=5]
明白了，你希望完全用高中課本風格的數學符號和公式呈現，而不是文字描述「點 A 到圓心 O 的距離」。我來改成正式數學寫法、易於高中生理解、Hexo/MathJax 友好的版本。
範例12 內積的應用——向量垂直
題目
在坐標平面上有點 (A(3,-1)) 及圓
[
C: x^2 + y^2 + 2x - 4y = 0
]
過點 (A) 作圓 (C) 的切線 (AP)，其中 (P) 為圓上切點。若點 (Q) 為圓上任意一點，則向量內積
[
\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ}
]
之最大值為 ______。
步驟 1：將圓寫成標準式
[
]
✅ 圓心 (O(-1,2))，半徑 (r = \sqrt{5})。
步驟 2：過 (A) 作切線的斜率方程
設切線斜率為 (k)，過點 (A(3,-1))：
[
y + 1 = k(x - 3)
]
切線與圓只有一個交點 → 代入圓方程：
[
(x+1)^2 + (k(x-3)-1)^2 = 5
]
整理後判別式 (\Delta = 0)，得：
[
k = -\frac{1}{2} \quad \text{或} \quad k = 2
]
步驟 3：向量內積公式
向量內積：
[
\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ} = |\overrightarrow{AP}| , |\overrightarrow{AQ}| \cos \theta
]
- (\theta) 為 (\overrightarrow{AP}) 與 (\overrightarrow{AQ}) 夾角
- 最大值 (\Rightarrow \cos\theta = 1)，即兩向量同方向
步驟 4：計算切線長
[
]
切線長公式：
[
AP = \sqrt{AO^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - (\sqrt{5})^2} = \sqrt{25 - 5} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
]
步驟 5：最大內積
最大內積：
[
|\overrightarrow{AP}| , |\overrightarrow{AQ}_{\max}| = AP \cdot (AO + r)
]
[
]
✅ 答案：
[
\boxed{10 + 10\sqrt{5}}
]
步驟 6：斜率表示法畫圖
- 圓心：(O(-1,2))，半徑 (\sqrt{5})
- 點：(A(3,-1))
- 切線：
[
y + 1 = -\frac12 (x-3) \quad \text{或} \quad y+1 = 2(x-3)
] - 圓上任意點 (Q(x_Q, y_Q))
- 向量：
[
\overrightarrow{AP} = (x_P-3,,y_P+1),\quad \overrightarrow{AQ} = (x_Q-3,,y_Q+1)
]
步驟 7：生活應用
- 內積最大值 → 拉力最大，方向完全對齊
- 例如：用繩子拉小船，方向對齊拉得最快
- 切線 → 站在岸邊拉繩子碰到浮標，剛好接觸不掉入水中
- 最大距離 → 最遠能拉到的浮標距離
1️⃣ 拉繩子推物體（內積最大值）
- 想像你在拉一個重箱子，你手拉的方向跟箱子要移動的方向完全一致，你用力最有效。
- 如果你手拉的方向偏離了箱子前進的方向，你用同樣的力，箱子移動得會更慢。
- 對應數學：向量內積 (\vec{F} \cdot \vec{d}) 最大，表示推力方向與移動方向一致。
2️⃣ 停車與切線（切線概念）
- 想像圓是停車場的圓形花圃，點 A 是你停車的位置。你想讓輪子剛好碰到圓邊，但不要衝進花圃。
- 你從 A 點開車到圓邊的方向就是切線方向，剛好碰到圓的邊而不進入圓內。
- 對應數學：從點到圓作切線，只有一個接觸點 P。
3️⃣ 雷射照射與反射（內積與角度）
- 想像你在玩雷射迷宮，雷射要照到牆面反射。
- 內積最大對應雷射光線方向與目標方向完全對齊，能量最集中。
- 內積小表示方向偏離，能量投射不遠。
4️⃣ 鐵路軌道與列車（最大距離）
- 想像圓是車站周圍的圓形範圍，你在外圍點 A，想找圓上最遠的出口點。
- 最大距離就是你從 A 點出發可以到圓上最遠的點，需要沿著直線方向走。
- 對應數學：內積最大就是沿著 (A\to Q) 最長直線的方向。
5️⃣ 運動員投籃（向量內積）
- 想像籃球場中，你要把球投到籃框，向量內積最大表示你投球的方向與目標方向一致，命中率最高。
- 投偏了 → 內積變小 → 命中率下降。
精確坐標圖示意（Mermaid）
1 | graph TD |