向量應用題詳解：利用線性組合與面積比求解 (x,y) 與子三角形面積

向量應用題詳解：利用線性組合與面積比求解 (x,y) 與子三角形面積

解答與詳解

題目:
設 為 內部一點，若 ，又 交 於 ，且 ，且 面積為 ，則

(1) 數對 ________ 。

(2) 面積為 ________ 。

---

🥇 第一步：畫圖

三角形 ，裡面有一個點 ，然後線段 再往外拉，會交到 的一點 。

畫好一張示意圖（先看位置就好）：

📌 點 A 在左下角
📌 點 B 在右下角
📌 點 C 在左上角
📌 點 P 在三角形裡面（有點靠近中間）
📌 點 D 在邊 上

🥈 第二步：翻譯題目成故事

題目說：

我們把它想成 三個小朋友在拉一個橡皮筋：

• 小朋友 A 用「力量 2」把橡皮筋拉向 。
• 小朋友 B 用「力量 3」把橡皮筋拉向 。
• 小朋友 C 用「力量 4」把橡皮筋拉向 。

結果三個人的力量剛好平衡 → 橡皮筋（也就是 ）不會被拉走。
👉 所以 的位置是由 加上這些「比重」決定的。

🥉 第三步：翻成數學

這種「比重」其實就是一種「加權平均」。
題目給的係數是 ，它們的總和是 。

所以

👉 意思是： 的位置是由 混合而成的「平均值」，只是 的比重最大。

這樣我們就知道：

• 離 比較近（因為 的比重最大）。
  

---

🥇 第四步：找到 的位置

因為 在 上，所以設

依照分點公式：

---

🥈 第五步：翻成「向量式」

題目要的是

我們已經知道 。

所以

👉 這裡就看出來：

🥉 第六步：算面積

題目說 的面積是 。
因為 的比重是 ，總和是 。

👉 在面積上也有一個規則：

。

總和 ，對應總面積 。
所以 1 份 = 。

對應「4 份」：

---

🎉 最後答案

(1)
(2)

---