三角函數直觀整理

發表於 2025-10-06 分類於高中數學閱讀次數：

用梯子、單位圓和小故事，把 sin/cos/tan 和其他三角函數整理，附數值範例與記憶口訣。

基本情境：想像一把梯子靠牆

把一把梯子靠在牆上，梯子的底端在地面上、頂端靠牆。把形成的直角三角形想清楚：

(牆)
 |
 |   ▲  (頂端)
 |   |\
 |   | \
 |   |  \  <- 梯子（斜邊）
 |   |   \
 |   |    \
 +---+-----+ (地面)
  底端  向前走（run）

斜邊（hypotenuse）：梯子的整段長度。
對邊（opposite）：跟我們關心的角（比如梯子與地面的角）正對著的那一邊（就是牆上高度）。
鄰邊（adjacent）：跟那個角相鄰、在地面上的那一段（就是我們往前走的距離）。

直觀定義（用梯子說話）

設我們看一個角（就是梯子和地面成的角），那麼：

$對邊斜邊$
→ 「sin」告訴你：梯子頂端離地面有多高，佔整把梯子長度的幾分之幾。
試想：梯子越直（角越大），頂端越高，sin 越大。
$鄰邊斜邊$
→ 「cos」告訴你：你從底端往前走的長度，佔整把梯子長度的幾分之幾。
試想：角越小（梯子趴得平），cos 越接近 1。
$對邊鄰邊$
→ 「tan」告訴你：每向前走 1 步（run），會上升多少步（rise）。
（這就是我們說的 slope／斜率）

記憶口訣：SOH CAH TOA

SOH:
CAH:
TOA:

三角函數的其他成員（簡單說）

$斜邊對邊$ （csc = cosecant）
→ 如果很小，很大（因為是倒數）。
$斜邊鄰邊$ （sec = secant）
$鄰邊對邊$ （cot = cotangent）

這三個就是 sin, cos, tan 的「倒數朋友」。

單位圓的直觀（為什麼 sin/cos 會是座標）

想像一個半徑為 1 的圓（單位圓），在圓上選一個角（從正 x 軸逆時針量）。從圓心向外畫一條線到圓周，線與 x 軸夾角是。那條與圓交點的座標剛好是：

直觀：沿著角度方向走到圓上，x（橫）是 cos，y（直）是 sin。因為半徑是 1，sin 與 cos 就成了「比例」或「座標」。

幾個常見角度（數值範例，容易記）

把下面記起來，常在考試出現：

角度
			（約 0.577）

			（約 1.732）

小故事幫記憶：

30°：想像一把很斜、接近地面的梯子，頂端高度剛好是梯子長的一半（sin = 1/2）。
45°：斜上與前進一樣多（rise = run），所以 sin = cos，tan = 1。
60°：比 30° 更直（高度較大），sin60 = √3/2。

重要關係（用簡單話說）

畢氏恒等式（很重要、常用）：

這句話可以想成：「在單位圓上，」。因為，所以自然成立。

tan 與 sin, cos 的關係：

（也就是 slope = rise/run）。

範圍：與的值永遠在之內；可以是任何實數（但在時沒定義，例如）。
符號（簡單）：
- （cos 是「偶函數」，負角度不改變 cos）
- （sin 是「奇函數」，負角會把方向翻轉）

小練習（練習看懂）

一把長 10 的梯子，和地面夾角 30°，梯子頂端高度是多高？

$高度$

同一把梯子，底端向前走了多少？（run）

斜率（每向前 1 步上升多少）是多少？

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